Антон Злобин является воспитанником «Спартака», более того он занимался в Сокольниках с самой первой своей хоккейной тренировки и до выпуска из СШОР. «По детям» постоянно выигрывал чемпионаты Москвы в составе «Спартака-93» и России в составе сборной команды Москвы-93. Всё детство играл с левого фланга нападения в тройке, где Александр Хохлачев был центральным нападающим.
На Драфте КХЛ был выбран в первом раунде под общим 20-м номером ОХК «Динамо». После драфта Антон принял решение уехать в Северную Америку и попал в клуб лиги Квебека Shawinigan Сataractes, где сразу стал лидером команды и набирал в среднем по одному очку за игру. Вместе со своей командой в сезоне 2011/12 выиграл Мемориальный кубок. Примечательно, что в Shawinigan Cataractes Антон играл вместе с другим известным воспитанником «Спартака» - Кириллом Кабановым. В финале Мемориального кубка команда Злобина и Кабанова обыграла «Лондон Найтс» 2:1 в овертайме, Антон стал автором обеих шайб своей команды. В итоге Антон и Кирилл попали в короткий список российских хоккеистов, выигрывавших известный трофей. Конечно же, после такой игры его задрафтовал клуб НХЛ «Питтсбург Пингвинс» в 6-ом раунде под общим 173 номером. В НХЛ Антон так и не сыграл - сильно помешали травмы. Он был вынужден вернуться на родину в «Динамо», которому принадлежали на него права. Сезон 2016/17 он провёл в «Динамо» (Балашиха) в ВХЛ и помог команде выиграть тогда еще «Братину» - главный трофей Высшей лиги.
За два года пробиться в состав «взрослого» «Динамо» так и не получилось, и по ходу сезона 2018/19 он вернулся в родной «Спартак», где сразу стал на постоянной основе играть в КХЛ. Первый гол в КХЛ и в «Спартаке» Антон забросил 23 января в ворота «Северстали», спустя 9 лет после того, как забивал за красно-белых еще в детской школе. Также Антон очень неплохо себя проявил в плей-офф, где в 6 матчах забросил 2 шайбы.